千禧年大奖难题，终迎来曙光！
今天，谷歌DeepMind与NYU、斯坦福四大顶尖机构，发布了一篇20页的重磅论文——
他们用AI在三种不同流体方程中，发现了一系列新型不稳定「奇点」族。
这些「奇点」是数学物理学中的重大谜团。
一般来说，数学家们描述「流体运动」时，常用纳维-斯托克斯方程（Navier–Stokes equations）来表示。
生活中，气流抬升飞机机翼，或是漩涡飓风形成，都属于这一范畴以内。
然而，在流体力学中，某些极端场景之下，这些方程会出现「崩溃」（break），预测出不可能存在的无限值。
一大关键挑战在于，如何去找到方程中「不稳定奇点」？
由此，谷歌DeepMind团队借助「物理信息神经网络」（PINN），将方程直接编码到神经网络的损失函数中，最小化其输出与方程要求之间的差异。
论文地址：https://arxiv.org/pdf/2509.14185
结果，他们观察到了一个清晰且出乎意料的模式：当解变得越不稳定时，其关键属性之一会无限接近直线分布。
这揭示了，这些方程中此前未被发现的、具有全新底层数学结构。
简单来讲，当奇点越来越「不稳定」，其行为汇聚成线性分布，呈现出惊人的规律性。
也就意味着，流体力学百年难题，被谷歌AI找了新解！
它将为数学、物理和工程学带来全新突破，对天气预报、洪水模拟、航空动力学，乃至心血管研究，意义重大。
千禧年大奖难题，百年未解
万事万物，都遵循着定律。
几个世纪以来，数学家们建立了各种复杂的方程，来描述流体动力学背后的基本物理原理。
他们希望精心构建出一些，让理论与实践相悖的场景，从而预测在物理层面绝无可能发生的情形。
在这些情形中，速度、压力等物理量会趋于无穷，被称之为「奇点」（singularity）或「爆破」 （blow up）
只有搞清楚了「奇点」，才能看到流体动力学方程的根本局限，加速人类理解物理世界运行方式。
其中，稳定性是奇点形成过程中的一个关键特性。
若是一个奇点在微小扰动下仍能保持稳定，它就被认为是「稳定奇点」。
反之，「不稳定奇点」的形成则需要极为苛刻的条件。
数学家们相信，复杂无边界三维「欧拉方程」和「纳维-斯托克斯方程」，不存在稳定的奇点。
1822年，法国数学家Henri Navier首次提出描述流体运动基础方程。23年后，爱尔兰数学家George Gabriel Stokes对其进一步完善。
这就是，「纳维-斯托克斯方程」真正诞生的源头。
一直以来，数学家们仍未解决，其核心难题在于——
证明方程解总是「光滑的」，或在某些条件下产生「奇点」。
简单来说，平静的海面突然掀起海啸的原因，与这个关键问题的解决有着重要的联系。
「纳维-斯托克斯方程」解的存在性与光滑性，是克雷数学研究所设立的六大「千禧年大奖难题」之一。
谁要攻克了这一难题，就能拿下100万美元大奖。
陶哲轩曾与合著者曾研究了纳维-斯托克斯方程解的局部和全局行为
这一次，谷歌DeepMind或将最先摘下这一难题的「圣杯」。
不稳定奇点，AI找到了
早在三年前，谷歌DeepMind联手NYU斯坦福、布朗大学等团队开始秘密攻关。
这个团队，不仅有全球顶尖的数学家，还有著名的地球物理学家。
论文中，合作者们采用了一种全新AI方法，首次在三种不同的流体方程中，系统性地发现了一系列不稳定「奇点族」。
研究流程图
研究过程，主要包含两个主要阶段：
1. 找解阶段
首先在自相似爆破解的空间里「撒网」，找到可能成立的解，一个关键参数是标度率λ，以图i伯格斯方程为例。
随后，迭代方法优化机器学习流程（图ii），并提升解精度。
实际算出来的候选解（图iii）和其精度，会帮合作者调整数学模型和神经网络结构。
比如，怎么变换输入坐标、怎么设计输出场，都属于「归纳偏置」。
最重要的一步来了，研究人员采用「物理信息神经网络」（PINN），搭配高斯-牛顿优化器与多阶段精炼训练方案，在寻找标度率λ同时，生成高精度的候选解。
2.分析阶段
找到候选解之后，团队通过偏微分方程将其线性化，来分析其稳定性。
结果，他们发现了「不稳定模态」——任何微小扰动，都会使系统偏离爆破解轨迹。
由此，通过量化稳定程度，最终找到了高精度的稳定/不稳定奇点。
如下所示，研究人员意外发现，随着解的「不稳定阶数」（即解偏离爆破的独特方式数量）增加，参数λ的值形成一条清晰的直线模式。
这种模式，在不可压缩多孔介质（IPM）方程和Boussinesq方程中，清晰可见。
这暗示着，可能存在更多不稳定的解，而它们对应的λ值预计也将落在同一条直线上。
此外，研究还展示了更多可视化的栗子——
下图是，其中一个方程所计算出的涡度 （Ω） 场。涡度是衡量流体在空间每一点上，旋转剧烈程度的物理量。
再比如，在发现的所有不稳定性中，沿着一个轴穿越同一涡度场的一维切片图。
图中显示了奇点，随不稳定性增加的演变过程。
物理信息神经网络：PINN立大功
之所以能发现这些奇点，谷歌DeepMind融合了多项ML技术。
具体来说，论文使用了「物理信息神经网络」（PINN），去捕捉不稳定奇点。
传统的神经网络，需要从海量数据集中学习，而PINN则不同。
它直接嵌入物理定律，训练网格去匹配方程的预期，通过最小化「残差」，即网络解与方程要求之间的偏离量，从而「学会」遵守物理规律。
值得注意的是，DeepMind团队并非简单应用PINN，他们将数学家的直觉和洞察，嵌入到了AI的训练过程中。
团队还融合了机器学习技术，如二阶优化器，开发出一个高精度框架，将PINN计算精度提升至前所未有的水平。
更直观理解，其所处理的最大误差，相当于在预测地球直径时，将误差控制在几厘米之内。
正如论文一作Yongji Wang所言，「通过嵌入数学见解，并达到极致精度，我们将PINN改造成为一种能够发现『幽灵般』奇点的探索工具」。
数学新纪元，锁定下一个圣杯
谷歌DeepMind最新研究，代表了一种数学研究的新时代——将数学洞察与AI融为一体。
它为流体动力学注入了全新的解，有助于数学家、物理学家、工程师攻克长期挑战。
或许未来，计算机辅助证明，将能攻克科学领域世纪难题，迎来全新纪元。
今年1月，Demis Hassabis曾在一次采访中暗示，团队即将解决一个千禧年大奖难题，并未具体说明。
如今看来，他所指的便是纳维-斯托克斯方程。
下一个数学圣杯，又将花落谷歌DeepMind？
作者介绍
Yongji Wang
论文一作Yongji Wang，目前是纽约大学库朗数学科学研究所的一名博士后，同时也是斯坦福大学的访问博士后。
他的研究方向主要包括连续介质力学、地球物理学以及科学机器学习，在运用理论和数值技术阐明自然及环境中的复杂物理过程方面，拥有丰富的经验。
研究重心是针对各类科学问题开发高精度深度学习技术，其研究范围广泛，从揭示南极冰架隐藏的物理特性，到寻找非线性偏微分方程（PDE）的自相似爆破解。
此前，他在上海交通大学获得机械工程及自动化学士学位，在香港大学获得机械工程学士学位，在剑桥大学获得应用数学硕士学位，在麻省理工学院获得土木与环境工程博士学位。
参考资料：
https://deepmind.google/discover/blog/discovering-new-solutions-to-century-old-problems-in-fluid-dynamics/
https://x.com/GoogleDeepMind/status/1968691852678173044
文章来自于微信公众号 “新智元”，作者 “新智元”
